信号与系统的概念

  • 因果信号（Causal Signal）：t<0时，信号值一定为0

  • 时限信号：在一段区间外信号值一定为0

  • 连续时间信号：自变量时间 t 连续取值，也称为模拟信号

  • 离散时间信号：仅在某些离散的时刻有定义，若信号值可用有限位数的二进制表示，则称为数字信号

  • 常用实信号：

    • 门信号：gτ(t)={1,∣t∣<τ20,∣t∣>τ2g_\tau (t)=\begin{cases}& 1,|t|<\frac{\tau}{2}\\& 0,|t|>\frac{\tau}{2}\end{cases}
    • 抽样信号：Sa(t)=sin⁡ttSa(t)=\frac{\sin t}{t}
    • 三角脉冲信号：qτ(t)={1−2∣t∣τ,∣t∣<τ20,∣t∣>τ2q_\tau (t)=\begin{cases}& 1-\frac{2|t|}{\tau},|t|<\frac{\tau}{2}\\& 0,|t|>\frac{\tau}{2}\end{cases}

  • 离散时间信号的周期N是正整数

  • 能量信号：信号能量有界，平均功率趋于零，如门信号、三角脉冲信号

  • 功率信号：信号平均功率有界，能量趋于无穷，如周期脉冲信号、正弦信号、复指数

  • 一阶后向差分：∇f[n]=f[n]−f[n−1]\nabla f[n]=f[n]-f[n-1]

  • m次累加运算：f(−m)[n]=∑k=−∞nf−m+1[k]f^{(-m)}[n]=\sum _{k=-\infin}^nf^{-m+1}[k]

  • 信号的奇偶分解：偶部（Even Part）为fe(t)=12[f(t)+f(−t)]f_e(t)=\frac{1}{2}[f(t)+f(-t)]，奇部（Odd Part）为fo(t)=12[f(t)−f(−t)]f_o(t)=\frac{1}{2}[f(t)-f(-t)]

  • 系统的连接：并联、级联、反馈连接

  • 系统性质：

    • 记忆性（动态特性）：响应仅与当前时刻输入有关为无记忆系统
    • 因果性：响应与当前时刻之后的时间无关为因果系统
    • 可逆性：不同输入一定产生不同响应为可逆系统
    • 稳定性：有界的输入产生有界的响应为稳定系统
    • 时不变性：延时的响应等于响应的延时为时不变系统
    • 线性：满足齐次性和可加性为线性系统，和的响应等于响应的和（求导和积分本身是一种线性运算，所以导数的响应的等于响应的导数，积分的响应等于响应的积分）

LTI系统的描述和响应

  • LTI离散时间系统表示：∑k=0Ncky[n−k]=∑l=0Mdlf[n−l]\sum_{k=0}^Nc_ky[n-k]=\sum_{l=0}^Md_lf[n-l]，N为系统阶数

    • 零输入响应ys[n]y_s[n]：当输入信号f[n]f[n]为0，响应仅由初始状态产生
    • 零状态响应yf[n]y_f[n]：系统只有输入信号，初始状态为0（默认）
    • 系统全响应：y[n]=ys[n]+yf[n]y[n]=y_s[n]+y_f[n]
    • 冲激响应：输入信号为单位冲激信号δ[n]\delta[n]时的零状态响应h[n]h[n]

  • 卷积和：零状态响应y[n]=f[n]∗h[n]=∑k=−∞∞f[k]h[n−k]y[n]=f[n]*h[n]=\sum _{k=-\infin}^{\infin}f[k]h[n-k]

  • 卷积积分：零状态响应y(t)=f(t)∗h(t)=∫−∞∞f(τ)h(t−τ)dτy(t)=f(t)*h(t)=\int _{-\infin}^{\infin}f(\tau)h(t-\tau)d\tau

  • 冲激响应与系统特性：

    • 与记忆性：若冲激响应h[n]=Kδ[n]h[n]=K\delta[n]（K为常数），则系统无记忆
    • 与因果性：若冲激响应h[n]=0,n<0h[n]=0,n<0，则系统是因果的
    • 与稳定性：若冲激响应绝对可积分，则系统稳定

连续时间信号的傅里叶变换

  • 复指数信号通过LTI系统的响应为原信号乘以与时间t无关的常数H(s0)H(s_0)

  • 连续时间周期信号的傅里叶级数：f(t)=∑k=−∞∞akejkω0tf(t)=\sum _{k=-\infin}^{\infin}a_ke^{jk\omega_0t}，ak=1T∫Tf(t)e−jkω0tdta_k=\frac{1}{T}\int _Tf(t)e^{-jk\omega_0t}dt

    • 分解成无限多个谐波分量的线性组合
    • aka_k描述了该频率分量的幅度，实信号的aka_k关于k共轭对称，实偶信号的aka_k也是实偶函数，实奇信号的aka_k是纯虚数且是k的奇函数
    • 实周期信号的傅里叶级数仍然是实的

  • 傅里叶级数收敛条件：狄里赫利条件

    • 信号任一周期内绝对可积
    • 信号任一周期内只有有限个极值点
    • 信号任一周期内只有有限个间断点，且间断点的信号值必须有限

  • 吉布斯现象：用有限项级数来逼近连续时间周期信号f(t)f(t)，会出现

    • 在信号跳变点附近出现纹波
    • 随着项数增加纹波峰值大小不会改变，但会被挤向信号间断点处
    • 信号连续点处傅里叶级数收敛于信号本身
    • 信号跳变点处傅里叶级数收敛于左右极限的均值

  • 连续时间非周期信号的傅里叶变换：F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdtF(\omega)=\int _{-\infin}^{\infin}f(t)e^{-j\omega t}dt

    • 傅里叶变换代表单位频率上ejωte^{j\omega t}的幅度，具有密度的量纲
    • 傅里叶变换的存在条件也需要满足狄里赫利条件，“任一周期”改为“任意有限区间”，若频域引入奇异函数（如δ(ω)\delta(\omega)）某些不绝对可积的信号也可求出傅里叶变换
    • 傅里叶逆变换也有吉布斯现象

  • 帕斯瓦关系：信号时间总能量的2π2\pi倍等于频率总能量

  • 连续时间周期信号的傅里叶变换：F(ω)=2π∑k=−∞∞akδ(ω−kω0)F(\omega)=2\pi \sum_{k=-\infin}^{\infin}a_k\delta(\omega-k\omega_0)

连续时间信号与系统的频域分析

  • 信号通过LTI连续时间系统的实质，是输入信号幅度谱乘上系统的幅频特性，而相位谱加上系统的相频特性，且不同频率成分将有不同的幅度放大和不同相位移动

  • 无失真传输系统：y(t)=Kf(t−t0)y(t)=Kf(t-t_0)，即h(t)=Kδ(t−t0),H(ω)=Ke−jωt0h(t)=K\delta(t-t_0),H(\omega)=Ke^{-j\omega t_0}

  • 线性相位系统：系统的相频特性是ω\omega的线性函数，其实质是对输入信号的不同频率成分有相同延时

  • 群延时：τ(ω)=−dφH(ω)dω\tau(\omega)=-\frac{d\varphi_H(\omega)}{d\omega}，反映系统相位随频率的变化率

  • 滤波：改变输入信号各频率成分相对幅度大小

  • 滤波器分为两大类：频率成形滤波器和频率选择性滤波器

  • 调制目的：利于信号的传输，实现信道的多路复用、增强系统抗噪声性能

  • 载波：被控制信号，包括复指数信号载波（频谱搬移）、正弦信号载波（频谱搬移到两边，幅度减半）

  • 采样函数：p(t)=∑l=−∞∞δ(t−lTs),P(ω)=ωs∑k=−∞∞δ(ω−kω)p(t)=\sum_{l=-\infin}^{\infin}\delta(t-lT_s),P(\omega)=\omega_s\sum_{k=-\infin}^{\infin}\delta(\omega-k\omega)

  • 信号内插：对一组样本值进行拟合，重建一个连续时间函数，内插函数：Sa[πTs(t−lTs)]Sa[\frac{\pi}{T_s}(t-lT_s)]采样点处函数值为1，其余采样点上为0

  • 奈奎斯特采样定理：采样角频率不小于信号带宽两倍

  • 解析信号：z(t)=f(t)+if^(t),Z(w)=2F(ω),(ω>0)z(t)=f(t)+i\hat f(t),Z(w)=2F(\omega),(\omega>0)，节省消息信号的一半频谱资源（因为实信号是共轭对称的）

  • 希尔伯特变换：f^(t)=f(t)∗(1πt),F^(ω)=F(ω)[−jsgn(ω)]\hat f(t)=f(t)*(\frac{1}{\pi t}),\hat F(\omega)=F(\omega)[-jsgn(\omega)]

拉普拉斯变换

  • 拉普拉斯变换：s=σ+jω,F(s)=∫−∞∞f(t)e−stdts=\sigma+j\omega,F(s)=\int_{-\infin}^{\infin}f(t)e^{-st}dt

    • 把f(t)f(t)分解为复指数信号este^{st}的加权和

    • 解决了傅里叶变换需要信号绝对可积的条件

    • f(t)f(t)的拉普拉斯变换就是f(t)e−σtf(t)e^{-\sigma t}的傅里叶变换

    • F(s)F(s)的零点和极点可以完全确定其表达式

    • 当F(s)F(s)存在且收敛域包含虚轴时，傅里叶变换才存在，F(ω)=F(s)∣s=jωF(\omega)=F(s)|_{s=j\omega}

  • 收敛域性质：

    • 是平行于jωj\omega轴的带状区域
    • 若F(s)F(s)是有理式，则收敛域不包括极点
    • 若信号是时限信号且绝对可积，则收敛域是整个s平面
    • 若信号是右边信号，且F(s)F(s)为有理分式，则收敛域在最右极点以右
    • 若信号是双边信号，且F(s)F(s)为有理分式，则收敛域在两极点之间

  • 系统函数H(s)H(s)收敛域：

    • 系统是因果的，则收敛域位于最右极点以右
    • 收敛域包括虚轴则系统稳定
    • 零点和极点关于jωj\omega对称，则系统为全通系统（幅频特性是与频率无关的常数）
    • 所有零极点都位于左半平面，则称为最小相位系统（逆系统一定因果稳定）

  • 因果LTI连续时间系统都可以表示为一个最小相位系统和一个全通系统的级联

  • 当系统初始条件不为0时，求系统全响应或令输入响应应使用单边拉普拉斯变换

  • 积分器：y(t)=∫−∞tf(τ)dτ,Y(s)=1sF(s)y(t)=\int_{-\infin}^{t}f(\tau)d\tau,Y(s)=\frac{1}{s}F(s)

离散时间信号的傅里叶变换

  • 离散时间周期信号的傅里叶级数表示：f[n]=∑k=<N>akejkΩ0n,ak=∣frac1N∑n=<N>f[n]e−jkΩ0nf[n]=\sum_{k=<N>}a_ke^{jk\Omega_0n},a_k=|frac{1}{N}\sum_{n=<N>}f[n]e^{-jk\Omega_0n}，谐波次数k、傅里叶系数都是以N为周期
  • 周期为N的两离散时间信号的周期卷积的傅里叶系数为原来两信号傅里叶系数乘积的N倍
  • 离散时间信号f[n]f[n]的傅里叶变换：F(Ω)=∑n=−∞∞f[n]e−jΩnF(\Omega)=\sum_{n=-\infin}^{\infin}f[n]e^{-j\Omega n}
  • 离散时间信号傅里叶变换Fd(Ω)F_d(\Omega)与连续时间信号傅里叶变换Y(ω)Y(\omega)的关系：Fd(Ω)=Y(ω)∣ω=ΩTsF_d(\Omega)=Y(\omega)|_{\omega=\frac{\Omega}{T_s}}
  • 同一连续时间信号fc(t)f_c(t)用不同的采样周期TsT_s采样，得到的离散时间信号fd[n]f_d[n]的频谱宽度是不一样的（TsT_s越小，宽度越小，幅度越大）
  • 离散傅里叶变换（DFT）：Fˉ(k)=∑n=0N−1f[n]WNKn,k=0,1,...,N−1,旋转因子WN=e−j(2π/N)\bar F(k)=\sum_{n=0}^{N-1}f[n]W_N^{Kn},k=0,1,...,N-1,旋转因子W_N=e^{-j(2\pi/N)}
    • 将离散时间信号的傅里叶变换进行离散化，使得计算机可以处理信号频域
    • 时限信号的离散傅里叶变换就是周期信号的傅里叶系数aka_k乘以N
    • Fˉ(k)\bar F(k)是对F(Ω)F(\Omega)以2πN\frac{2\pi}{N}为间隔采样
    • 快速傅里叶变换FFT是DFT的一种计算方法或计算技巧

Z变换

  • 离散时间信号Z变换：F(z)=∑n=−∞∞f[n]z−n,z=rejΩF(z)=\sum_{n=-\infin}^{\infin}f[n]z^{-n},z=re^{j\Omega}

    • 将信号分解为无数复指数信号zn−1z^{n-1}的和，z的取值是在圆心为原点、半径为r的圆上
    • 也适用于离散时间信号绝对不可积的情况

  • z变换收敛域性质：

    • 是z平面一个以原点为圆心的同心圆环
    • F(z)F(z)是有理式则收敛域不包含极点
    • 时限信号收敛域为整个z平面，但可能不包含原点和无穷远
    • 右边序列，则∣z∣>∣pmax∣|z|>|p_{max}|
    • 双边序列且z变换为有理分式，则收敛域为两极点间同心圆环或为空集

  • 当z变换存在且收敛域包含单位圆时，其傅里叶变换存在，FΩ=F(z)∣z=ejΩF_{\Omega}=F(z)|_{z=e^{j\Omega}}

  • 系统函数收敛域：

    • 若系统为因果的，则收敛域在最远离原点的圆外
    • 系统稳定，则收敛域包含单位圆

附录

傅里叶变换性质

傅里叶变换性质2

常见连续时间信号的傅里叶变换

常见连续时间信号的傅里叶变换2

拉普拉斯变换性质

常见连续时间信号的傅里叶变换

傅里叶变换与傅里叶级数

z变换性质

常见离散时间信号的z变换