极限与连续

  • 函数：对应关系（Correspondence）、唯一确定（Only、Definite）

  • 复合函数：嵌套（Nestification）

  • 反函数：不同x对应的y值不应该相同

  • 函数有界性：既有上界，又有下界（Boundary）

  • 取整函数：y=[x]向下取整

  • 极限：限制自变量的移动、函数值与极限的差值小于无穷小量、趋近包含不相等和左右趋近两个含义

  • 无穷小：极限（Limit）等于0

  • 极限保号性：函数极限正，去心邻域正

  • 夹逼定理：两端极限相等，也是中间的极限

  • 函数连续性：

    • 一点处连续：极限等于函数值
    • 闭区间连续：开区间内连续，左端点右连续，右端点左连续

  • 第一类间断点：极限不等于函数值，但极限存在

    • 可去间断点：左右极限相等

    • 跳跃间断点：左右极限不相等

  • 第二类间断点：极限不等于函数值，左右极限至少一个不存在

  • 零点定理：连续（Continuous）函数、开区间（Open interval）端点函数值符号相反，至少存在一个零点

  • 介值定理：连续函数、闭区间至少取一个函数值属于值域

导数与微分

  • 可导一定连续，连续不一定可导（Derivable）
  • 可微：函数增量可以化为微分加上无穷小，可导等价于可微

一元函数微分学

  • 取得极值（Peak），则导数等于零或者不存在
  • 中值定理
    • 罗尔定理：连续可导，端点函数值相等，则存在导数为零
    • 拉格朗日中值定理：连续可导，则存在导数为端点函数值差/端点值差
    • 柯西中值定理：两函数连续可导，则存在各函数值差之比等于导数之差
    • 洛必达法则：两函数值（同时趋近于0或者无穷）比的极限等于导数比的极限（导数比的极限不存在只能说明法则不适用）
    • 泰勒中值定理

不定积分

  • 连续函数一定有原函数（Primitive function），反之不对
  • 有第一类间断点的函数一定不存在原函数，第二类间断点可能有
  • 不定积分（Integral）：函数的所有原函数

定积分

  • 积分中值定理：存在定义域内一点函数值乘量程等于积分
  • 积分第一中值定理：两个连续函数相乘的积分，存在等于一个函数的函数值乘另一函数的积分
  • 柯西不等式：两个连续函数相乘积分的平方小于等于连续函数平方积分的积
  • 广义积分：积分区间无限或者有无穷间断点

多元函数微分学

  • f(x,y)在(x0,y0)处可偏导⇀此处可微f(x,y)在(x_0,y_0)处可偏导\rightharpoonup此处可微

  • 梯度：设u=f(x,y,z)u=f(x,y,z)可偏导，则$grad\space u=\left { \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y} ,\frac{\partial u}{\partial z} \right } $

  • 方向导数：某处的梯度乘以其方向角

  • 在某点可微，则既连续有可偏导，反之不对

  • 多元函数的条件极值：z=f(x,y)z=f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0\varphi(x,y)=0下的极值

    • 拉格朗日乘数法：令F=f(x,y)+λφ(x,y)F=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)，偏导为零求x、y值
    • 转换成一元函数的极值：将约束条件反解，代入
    • 参数方程法

微分方程

  • 微分方程：含导数或微分的方程

  • 微分方程的阶数：导数或微分的最高阶数

  • 微分方程的解：是个函数，不含常数的叫特解，相互独立的常数个数与阶数相等则为通解

  • 可分离变量的微分方程：dydx=φ1(x)φ2(y)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =\varphi_1(x)\varphi_2(y)，（x，y移两边积分）

  • 齐次微分方程：dydx=φ(yx)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =\varphi(\frac{y}{x} )，（令u=yxu = \frac{y}{x}代入，u，x移两边积分）

  • 一阶非齐次线性微分方程：dydx+P(x)y=Q(x)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} +P(x)y=Q(x)，（通解公式y=[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]e−∫P(x)dxy=[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]e^{-\int P(x)dx}）

  • 伯努利方程：dydx+P(x)y=Q(x)yn\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} +P(x)y=Q(x)y^n，（将z=y1−nz=y^{1-n}代入求解一阶非齐次线性微分方程）

  • 全微分方程：$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,且\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} ，（通解为，（通解为u(x,y)=\int _{x0}^xP(x,y)dx+\int _{y0}^yQ(x,y)dy=0$）

  • 二阶常系数齐次线性微分方程：y′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0

    • 转化为特征方程λ2+pλ+q=0\lambda^2+p\lambda+q=0

    • Δ>0\Delta>0，通解为y=C1eλ1x+C2eλ2xy = C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}

    • Δ=0\Delta=0，通解为y=(C1+C2x)eλ1xy=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}

    • Δ<0\Delta<0，特征方程有两个共轭虚根λ1,2=α±iβ\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta，通解为y=eαx(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx)y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)

  • 二阶常系数非齐次线性微分方程：y′′+py′+qy=f(x)y''+py'+qy=f(x)

重积分

  • 二重积分的计算方法：直角坐标法、极坐标法（被积函数或积分区域含x2+y2x^2+y^2）
  • 三重积分的计算方法：切片法、铅直投影法、柱面坐标变换法（被积函数或积分区域含x2+y2x^2+y^2）、球面坐标变换法（被积函数或积分区域含x2+y2+z2x^2+y^2+z^2）

级数

  • 常数项级数：∑n=1∞an\sum_{n=1}^\infty a_n
  • p级数：∑n=1∞1np\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}，当p=1是，成为调和级数
  • 几何级数：∑n=1∞aqn,(a≠0)\sum_{n=1}^\infty aq^n,(a \ne 0)
  • 正项级数：对于常数项级数，an≥0a_n\ge 0
  • 交错级数：∑n=1∞(−1)nun,un>0\sum_{n=1}^\infty (-1)^nu_n, u_n>0
  • 绝对收敛：∑n=1∞∣un∣\sum_{n=1}^\infty |u_n|收敛
  • 条件收敛：∑n=1∞un\sum_{n=1}^\infty u_n收敛，∑n=1∞∣un∣\sum_{n=1}^\infty |u_n|发散
  • 函数项级数：∑n=1∞u(x),{u(x)为函数列}\sum_{n=1}^\infty u(x),\{u(x)为函数列\}
  • 幂级数：∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^\infty a_nx^n
  • 麦克劳林级数：∑n=0∞f(n)(0)n!xn\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n

空间解析几何

  • 向量的数量积：a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣cos⁡(a⃗,b⃗)\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos(\vec{a},\vec{b})
  • 向量的向量积：a⃗×b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣sin⁡(a⃗,b⃗)\vec{a}\times\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\sin(\vec{a},\vec{b}),方向由右手准则判定
  • 二维空间旋转曲面：绕哪个轴旋转就换成±x(or y)2+z2\pm\sqrt{x(or\space y)^2+z^2}

曲线积分与曲面积分

  • 第一类曲线积分（对弧长）：特殊替代法、定积分法
  • 第二类曲线积分（对积分）：定积分法、二重积分
  • 第一类曲面积分（对面积）：特殊替代法、二重积分法
  • 第二类曲面积分（对坐标）：二重积分法、高斯公式

附录

希腊字母表

麦克劳林公式